Act. 1.2 problemas de razonamiento

Problemasderazonamiento from María Puentes

PUNTOS NOTABLES EN EL TRIANGULO (AutoCAD)

Ejercicio1 1.1-goldenrate-160107160118 de María Puentes

Rectángulo Aureo

Euclides, en su libro Los Elementos, define una proporción basada en la división de un segmento en su "razón extrema y media". 

La definición de Euclides es: 

Un segmento se dice que está dividido en su razón extrema y media cuando el total del segmento es a la parte mayor como la parte mayor a la menor. (Libro IV, Definición 3). 

Actualmente a esta razón la llamamos la sección áurea, la razón áurea o la divina proporción. Usualmente se denota por la letra griega phi, la inicial del nombre del escultor Phidias. 

La construcción de Euclides del pentágono regular depende de esta razón. Dos diagonales de un pentágono regular que se corten dividen una a la otra en la razón extrema y media. 

Usando una tira de papel podemos hacer un nudo y obtener un pentágono y un pentagrama, emblema de la escuela pitagórica. Cada segmento del pentagrama y su siguiente en tamaño están en proporción áurea. 

 

También encontramos la razón áurea en el dodecaedro y el icosaedro. 

Un rectángulo se dice que es un rectángulo áureo si tiene sus lados en la proporción áurea. Si cortamos adecuadamente un rectángulo áureo en un cuadrado de lado el ancho del rectángulo y en un rectángulo entonces el rectángulo pequeño también es un rectángulo áureo. Y podemos seguir este proceso indefinidamente. 

Podemos deducir el valor de la proporción áurea. 

  

El segmento de partida es AB. Para aplicarle la Sección Áurea se le coloca perpendicularmente en un extremo (B) otro segmento que mida exactamente la mitad. Se define así un triángulo rectángulo con los catetos en proporción 1:2. Pues bien, a la hipotenusa se le resta el cateto menor (arco de la derecha) y la diferencia, que llevamos al segmento AB con otro arco, es la sección áurea de éste. La parte menor Bfi es a la mayor Afi como ésta es a la suma AB. 

 

Igual de simple es hacer la operación inversa, es decir, averiguar de qué medida es sección áurea el segmento AB. Formamos el mismo triángulo que antes, pero en lugar de restar a la hipotenusa el cateto menor, se le suma. AB es sección áurea de Afi, y este segmento es la suma de AB y su sección áurea hallada en el esquema anterior, por supuesto. 

 

Un rectángulo áureo es aquel en que sus lados están en razón áurea. Se puede construir rápidamente a partir de un cuadrado: cogemos el punto medio de la base, tomamos con un compás la distancia hasta uno de los vértices superiores y con un arco llevamos esta medida a la prolongación de la base. El rectángulo ampliado es áureo, como también la ampliación, si suprimimos el cuadrado inicial, tiene esta misma proporción: 

 

A veces vemos estas otras construcciones, pero hacen lo mismo que la anterior, definir un triángulo rectángulo con un lado y la mitad de otro, restar la mitad a la hipotenusa y aplicar la diferencia como ampliación del cuadrado: 

 

A continuación comento algunas curiosidades geométricas, pero quien sólo le interese el trazado y hacer alguna prueba, puede saltar esta parte. 

La (pseudo)espiral logarítmica 

Del gráfico anterior, deducimos que a cualquier rectángulo áureo se le puede restar por su lado menor o bien añadir por su lado mayor un cuadrado, y el resultado sigue siendo un rectángulo áureo. En gnomónica diríamos que el cuadrado es el gnomon del rectángulo áureo (traduzco: gnomon es aquella figura que añadida a otra le proporciona más superficie sin cambiar la forma). Esta propiedad se ilustra frecuentemente con esta espiral logarítmica: 

 

Lo de espiral logarítmica hay que matizarlo, es una pseudo-espiral porque se forma con arcos de 90º de circunferencia inscritos en cada cuadrado y enlazados entre sí, mientras que en una verdadera espiral hay un cambio de curvatura constante, no cambios puntuales. Pero crece en proporción geométrica, por eso lo de logarítmica. 

Su valor numérico 

Si hacemos la construcción del rectángulo áureo hacia los dos lados de un cuadrado, el total es un rectángulo Raíz de cinco (sus lados están en proporción 1:R5) 

 

Se ve aún más claro si ponemos un doble cuadrado. Por el Teorema de Pitágoras sabemos que su diagonal mide Raiz de 5, y es el doble que el radio utilizado en las construcciones anteriores. Así que realmente lo que estábamos haciendo con aquel triángulo era sumar o restar 0'5 a la hipotenusa que es 1/2 de R5. 

 

La fórmula por tanto es fi = R5+1 / 2 = 1'61803398 Y su inversa (sección áurea) fi = R5-1 / 2 = 0'61803398 Se ve perfectamente que forman una serie aditiva, porque entre los dos valores está el factor 1. 

Fibonacci La relación de esta proporción con Leonardo de Pisa, más conocido por Fibonacci (s.XVI) es que éste matemático indicó a los criadores de conejos la conveniencia de prever la producción calculando las cantidades de ejemplares en series aditivas: cada mes una pareja produce como media dos crías, que al mes siguiente ya pueden procrear, como también la pareja inicial. Así que cada previsión es la suma de la anterior más su producción. A estas series, en que cada término es la suma de los dos anteriores, se les llama desde entonces series de Fibonacci. Pues bien, resulta que el límite de cualquiera de estas series es la razón áurea: 1,618033989. Es decir, tomamos dos números cualquiera como 2 y 6. Si iniciamos una serie los siguientes términos serían 8, 14, 22, 36, etc. Si observamos la razón entre cada término y el anterior veremos que comienza en 3, sigue en 4/3, y va oscilando aproximándose cada vez más a un valor que en 7 u 8 pasos ya es indistinguible de 1,618 En todo caso, la progresión en razón áurea es la única que reúne dos características: ser serie de Fibonacci (aditiva) y geométrica. Cada término es la suma de los dos anteriores y es media proporcional entre el anterior y el siguiente. 

Desde la admiración de los pitagóricos por el pentágono estrellado hasta la construcción de cúpulas geodésicas derivadas del icosaedro, siempre ha tenido ese carácter oculto, contemplativo, abstracto, tan atractivo para los amantes de la geometría y las matemáticas. Sin embargo, es un sistema muy compacto; allí donde aparece está en todas partes. Para construir el pentágono regular, bien a partir del lado base, bien circunscrito en una circunferencia, siempre tenemos que recurrir a la proporción áurea: se ve claramente que las operaciones son las mismas que vimos antes: 

 

Esto es porque todos los elementos están relacionados entre sí por esta proporción: 

 

A- El lado es sección áurea de la diagonal. B- Cada diagonal divide a otras dos según la sección áurea. C- Si hacemos un rectángulo áureo con el radio r como lado mayor, la diagonal es igual al lado del pentágono, y el lado menor igual al lado del decágono. 

 

D- Si hacemos un rectángulo áureo con el radio r como lado menor, la diagonal mide igual que la diagonal del pentágono. E- El radio es sección áurea del diámetro de la circunferencia inscrita, que es el doble de la apotema. F- La altura h del pentágono mide R5 en relación a la apotema. 

El Pentagrama pitagórico Los pitagóricos adoptaron como símbolo el Pentágono regular estrellado. Se le llamó también Pentagrama y Pentalfa (cinco puntas en forma de alfa). Aparte de la simbología de su número, su propiedad geométrica es que todos los segmentos están en progresión áurea. 

 

El triángulo del pentalfa, también llamado Triángulo Sublime y Triángulo áureo mayor, tiene sus lados en proporción áurea, y sus ángulos en razón simple 1:2:2. Aparece en diversas formas en el pentágono y el decágono: 

 

Su complementario, el Triángulo Divino o Triángulo áureo menor, también es isósceles, también tiene sus lados en proporción áurea, y sus ángulos en razón simple 3:1:1. Aparece en el Pentágono: 

 

De hecho, si dividimos un pentágono usando vértices y cruces de diagonales siempre lo descompondremos en varios triángulos de ambos tipos. Si partimos uno de estos triángulos desde un vértice a la sección áurea del lado contrario, la división dará un triángulo de cada tipo. A la inversa, adosando a uno de éllos el contrario, se puede agrandar la superficie del primero. Por lo tanto, cada uno es gnomon del otro. 

 

Las superficies de los triángulos así divididos guardan la proporción áurea. El área del Pentágono regular, como vemos en la última figura, es R5 veces el del triángulo central. La proporción se manifiesta en todas partes, como un sistema perfectamente coherente. 

Su presencia en el Dodecaedro y el Icosaedro Entre los sólidos platónicos, estos dos participan de la proporción áurea en diversas cosas. Por ejemplo, en el Dodecaedro, la arista es sección áurea de la diagonal de cara, y ésta lo es de la distancia entre aristas opuestas. Si lo colocamos sobre una cara, las alturas de los vértices intermedios seccionan en sentido alterno la altura total. Visto desde arriba, los radios de las circunferencias que pasan por los vértices de las bases y por los vértices intermedios, están en razón áurea. 

 

En el Icosaedro podemos inscribir tres rectángulos áureos perpendiculares entre si, lo que significa que la arista es sección áurea de la distancia entre aristas opuestas. Si lo colocamos sobre un vértice, los tramos de las alturas siguen la razón áurea, como también, visto desde arriba sobre una cara, los radios de las circunferencias que pasan por los vértices de las bases y por los vértices intermedios. 

 

En el universo, la naturaleza, en todas las cosas incluyendo en nosotros mismos existe algo llamado el "número áureo", también se conoce como la divina proporción. El esta presente en todas las cosas creadas: 

• Si divides tu estatura entre la distancia que hay del ombligo a los pies obtienes el número áureo.  
• Si levantas un brazo y divides la distancia que hay del pie hasta la punta del dedo medio del brazo levantado entre la altura del otro brazo puesto en horizontal también obtienes Fi. 
• En el rostro, si divides la distancia que hay entre el inicio de la nariz y la barbilla por la altura de la frente obtienes el numero Fi. 
• La distancia que hay entre la comisura de los labios y la barbilla por la distancia que hay del final de la nariz  esa comisura obtienes el número de oro. 
• Si divides la altura de la cara por la distancia que hay entre los extremos de las cejas también obtenemos Fi. 

El número de oro es igual a 1.618  y se encuentra en nuestro cuerpo, en las flores, en el sistema solar, en los arboles,  las galaxias, en los caracoles,… 

La serie de Fibonacci tiene relación con el número de oro. Fibonacci estableció una sucesión de números. 

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368... 

si en la sucesión de Fibonacci dividimos un termino entre su antecedente obtenemos un numero y cada vez que dividimos un numero por su antecedente nos acercamos más al numero de oro (1.618).                                            

1/1 = 1 

2/1 = 2 

3/2 = 1.5 

5/3 = 1.666 

8/5 = 1.6 

13/8 = 1.625 

21/ 13 = 1.615 

34/21 = 1.619 

55/34 = 1.617 

89/55 = 1.618 

144/89 = 1.617 

El número de oro entra en la arquitectura o composición de muchas cosas por dos razones: por que se cree que usando ese numero las cosas son mas hermosas, nos atraen más (no es extraño que las tarjetas de crédito sean de rectángulos áureos). Y cuando las cosas se hacen en proporciones áureas son más fáciles de manipular o usar. 

Creer en la posibilidad que todo el universo fue creado a base de una misma medida, de una misma proporción, es algo que te pone a filosofar a pensar en la vida, el tiempo, el espacio. 

La armonía siempre ha estado y seguirá estando presente en lo que menos nos imaginamos. A los humanos nos gustan las cosas con un orden, las cosas llamativas a la vista, al oído, al tacto. Para mi que nosotros como personas ya nacemos con ese gusto, es algo innato, así como el comer, el dormir o un talento que tal vez no sabemos que tenemos, pero se nos facilita y no nos damos cuenta de lo que somos capaces de crear. Creo yo así es nuestra relación con la proporción aurea, algo que ya tenemos y que aplicamos inconscientemente.  

Necesitamos leer, investigar más sobre este tema. 

Galileo creía que las matemáticas constituían el lenguaje del universo y que únicamente las descubríamos en el universo. 

Al igual que Michelangelo sugirió en algún momento que sus esculturas ya estaban ahí, que el solo las descubría al quitar piedra. 

Es realmente algo impresionante todo esto del numero de oro y la serie de Fibonacci. Si esto es algo real y creo que solo es cuestión de tiempo para poder conocer la relación de este número con todo lo que habita en el universo.

Por otro lado.

Existe mucha gente que quiere ver patrones en todo, esta tan obsesionada con las matemáticas que quieren creer que todo en la naturaleza existe este numero "majico". 

Para mi esto no es mas que pura casualidad, no por que en infinidad de cosas encontremos este numero quiere decir que ese objeto sea perfecto, sea algo hermoso. 

Estoy de acuerdo que si usamos el rectángulo aureo para elaborar alguna pintura, un logotipo, un edificio o lo que querramos hacer. Si lo ponemos en un orden determinado por lógica se vera bien, se va ver estético.

En el arte, como en la arquitectura hay variedad de gustos y puede ser que un edificio elaborado mediante el rectángulo aureo puede ser hermoso para unos y algo raro para otros. En gustos se rompen géneros y no creo que el rectángulo aureo sea algo que haga que los gustos de las personas cambien.

Rectángulo aureo en la antigüedad. 

La torre Eiffel inicialmente nombrada tour de 300 mètres (torre de 300 metros), es una estructura de hierro pudelado diseñada por los ingenieros Maurice Koechlin y Émile Nouguier, dotada de su aspecto definitivo por el arquitecto Stephen Sauvestre y construida por el ingeniero francés Alexandre Gustave Eiffel y sus colaboradores para la Exposición Universal de 1889 en París.

Los ejes de sus cuatro pilares forman un cuadrado de 100 metros, que seria el lado pequeño de un rectángulo áureo. Pues poniendo dos rectángulos conseguimos la altura de esta torre. 100 x Φ x 2 ≈ 323,61 metros que es la altura de la torre.También se encuentra en las diferentes partes de la torre, vea el dibujo donde el espacio azul seria igual a uno y Phi seria el espacio azul más el dorado.

Rectángulo aureo en la actualidad.

Al medir las tarjetas de crédito, y dividir su base por altura nos da el famoso numero 1.618.